Teori Bilangan

1.    Berapa sisa pembagian jika 3⁹³⁺⁸  atau 3¹⁰¹  dibagi 7  !

Jawab :

Menurut teorema Fermat,

a^p-1  1 (mod p)

jika  a = 3 dan p = 7 maka,

3^7-1  1 (mod 7)

3⁶      1 (mod 7). Selanjutnya,

3¹⁰¹ = 3^{(6) (16) + 5} = (3⁶)¹⁶ . (3)⁵ , sehingga

3¹⁰¹   (729)¹⁶ . (3)⁵ (mod 7)

3¹⁰¹   (104 x 7 + 1)¹⁶  . (3)⁵ (mod 7)

3¹⁰¹   (1)¹⁶ . (3)⁵ (mod 7)

3¹⁰¹   1 . 243 (mod 7)

3¹⁰¹   (34 x 7 + 5) (mod 7)

3¹⁰¹   5 (mod 7)

Jadi, sisa pembagian 3¹⁰¹ oleh 7 adalah 5

2.    Tentukan angka terakhir dari 2014¹⁹⁹³ !

Jawab :

2014¹⁹⁹³   sisa pembagian 2014¹⁹⁹³ oleh 10

2014¹⁹⁹³   (201 x 10 + 4) (mod 10)

2014¹⁹⁹³   4¹⁹⁹³ (mod 10)

2014¹⁹⁹³   4^{(4) (498) +1} (mod 10)

2014¹⁹⁹³   (4⁴)⁴⁹⁸ . 4¹ (mod 10)

2014¹⁹⁹³   (256)⁴⁹⁸ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   (6)⁴⁹⁸ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6^{(4) (124) +2} . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   (6⁴)¹²⁴ . (6²) . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   1296¹²⁴ . (36 . 4) (mod 10)

2014¹⁹⁹³   1296¹²⁴ . 144 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6¹²⁴ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6^{(4) (31)} . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   (6⁴)³¹ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   1296³¹ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6³¹ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6^{(4) (7) +3} . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   (6⁴)⁷ .  6³ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   1296⁷ . (216 . 4) (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6⁷ . 864 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6^(4)(1)+3 . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   6⁴ . 6³ . 4 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   1296  (216 . 4) (mod 10)

2014¹⁹⁹³   1296 . 864 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   (6 . 4) (mod 10)

2014¹⁹⁹³   24 (mod 10)

2014¹⁹⁹³   4 (mod 10)

Jadi, angka terakhir dari 2014¹⁹⁹³  adalah  4

3.    Cari tiga soal olimpiade yang ada kaitannya dengan materi teori bilangan !

Jawab :

1)   Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi a^b = 2²⁰ – 2¹⁹ maka nilai a + b adalah.....

Pembahasan :

Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif (bilangan asli)

a^b = 2²⁰ – 2¹⁹

a^b = 2¹⁹ (2¹ – 1)

a^b = 2¹⁹

maka, a = 2 dan b = 19

jadi, a + b = 2 + 19 = 21

2)   Manakah yang merupakan bilangan prima dari 11¹¹ – 11, 7⁷ – 7, 5⁵ – 5, 3³ – 3, 2² – 2 !

Pembahasan :

·      11¹¹ – 11 = 11 (11¹⁰ – 1 )    bukan prima karena bisa dibagi 11

·      7⁷ – 7 = 7 (7⁶ – 1 )               bukan prima karena bisa dibagi 7

·      5⁵ – 5 = 5 (5⁴ – 1 )                bukan prima karena bisa dibagi 5

·      3³ – 3 = 3 (3² – 1 )               bukan prima karena bisa dibagi 3

·      2² – 2 = 2 (2 – 1) = 2            Prima

3)   Untuk n bilangan asli, buktikan bahwa n³ + 5n habis dibagi 6 !

Pembahasan :

n³ + 5n = n³ – n + 6n

             = (n – 1) n (n + 1) + 6n

Karena (n-1) n (n + 1) merupakan tiga bilangan bulat yang berurutan,

maka  (n-1) n (n + 1) habis dibagi 6.

Jadi,  n³ +5n habis dibagi 6